Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- ((- dos + nueve *x)/(uno + nueve *x))^(cinco + dos *x)
- (( menos 2 más 9 multiplicar por x) dividir por (1 más 9 multiplicar por x)) en el grado (5 más 2 multiplicar por x)
- (( menos dos más nueve multiplicar por x) dividir por (uno más nueve multiplicar por x)) en el grado (cinco más dos multiplicar por x)
- ((-2+9*x)/(1+9*x))(5+2*x)
- -2+9*x/1+9*x5+2*x
- ((-2+9x)/(1+9x))^(5+2x)
- ((-2+9x)/(1+9x))(5+2x)
- -2+9x/1+9x5+2x
- -2+9x/1+9x^5+2x
- ((-2+9*x) dividir por (1+9*x))^(5+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-2-9*x)/(1+9*x))^(5+2*x)
- ((2+9*x)/(1+9*x))^(5+2*x)
- ((-2+9*x)/(1-9*x))^(5+2*x)
- ((-2+9*x)/(1+9*x))^(5-2*x)
Límite de la función ((-2+9*x)/(1+9*x))^(5+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + 2*x
/-2 + 9*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 9*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
Limit(((-2 + 9*x)/(1 + 9*x))^(5 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x + 1\right) - 3}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{9 x + 1} + \frac{9 x + 1}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{43}{9} - \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{43}{9}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{43}{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x + 1\right) - 3}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{9 x + 1} + \frac{9 x + 1}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{43}{9} - \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{43}{9}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{43}{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = -32$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = -32$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{823543}{10000000}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{823543}{10000000}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = -32$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = -32$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{823543}{10000000}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{823543}{10000000}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico