Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (dos +x)^ tres /(cinco *x^ tres)
- (2 más x) al cubo dividir por (5 multiplicar por x al cubo )
- (dos más x) en el grado tres dividir por (cinco multiplicar por x en el grado tres)
- (2+x)3/(5*x3)
- 2+x3/5*x3
- (2+x)³/(5*x³)
- (2+x) en el grado 3/(5*x en el grado 3)
- (2+x)^3/(5x^3)
- (2+x)3/(5x3)
- 2+x3/5x3
- 2+x^3/5x^3
- (2+x)^3 dividir por (5*x^3)
-
Expresiones semejantes
- (2-x)^3/(5*x^3)
Límite de la función (2+x)^3/(5*x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
|(2 + x) |
lim |--------|
x->oo| 3 |
\ 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
Limit((2 + x)^3/((5*x^3)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{5}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{5}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{3}}{5} + \frac{12 u^{2}}{5} + \frac{6 u}{5} + \frac{1}{5}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6}{5} + \frac{8 \cdot 0^{3}}{5} + \frac{12 \cdot 0^{2}}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{1}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{5}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{5}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{3}}{5} + \frac{12 u^{2}}{5} + \frac{6 u}{5} + \frac{1}{5}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6}{5} + \frac{8 \cdot 0^{3}}{5} + \frac{12 \cdot 0^{2}}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{1}{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} 5 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 12 x + 12}{15 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 15 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 12}{30 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 30 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} 5 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 12 x + 12}{15 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 15 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 12}{30 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 30 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{1}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{27}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{27}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{27}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{27}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{5 x^{3}}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→-oo