Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 4^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{n} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{n} n^{- n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 4^{n}}{\frac{d}{d n} n^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} n^{- n} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(n \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 4^{n} n^{- n} \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(n \right)} + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)