Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x - \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x - \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)