Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 7^+} \operatorname{atan}{\left(x - 7 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 7^+}\left(x^{3} - 343\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 7^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - 7 \right)}}{x^{3} - 343}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 7^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x - 7 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 343\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 7^+}\left(\frac{1}{3 x^{2} \left(\left(x - 7\right)^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 7^+}\left(\frac{1}{147 \left(x^{2} - 14 x + 50\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 7^+}\left(\frac{1}{147 \left(x^{2} - 14 x + 50\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{147}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)