Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x^3+2*x)/(-7*x^3-4*x^2)
-
Límite de (-12+x^2-4*x)/(48+x^2-14*x)
-
Límite de (-sin(x)+tan(x))/(-sin(x)+4*x)
-
Límite de ((1+x)^4-(-1+x)^4)/((1+x)^3+(-1+x)^3)
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro +x)/(tres +x))^(- tres +x)
- (( menos 4 más x) dividir por (3 más x)) en el grado ( menos 3 más x)
- (( menos cuatro más x) dividir por (tres más x)) en el grado ( menos tres más x)
- ((-4+x)/(3+x))(-3+x)
- -4+x/3+x-3+x
- -4+x/3+x^-3+x
- ((-4+x) dividir por (3+x))^(-3+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-4+x)/(3+x))^(-3-x)
- ((-4-x)/(3+x))^(-3+x)
- ((-4+x)/(3+x))^(3+x)
- ((4+x)/(3+x))^(-3+x)
- ((-4+x)/(3-x))^(-3+x)
Límite de la función ((-4+x)/(3+x))^(-3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-3 + x
/-4 + x\
lim |------|
x->oo\3 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
Limit(((-4 + x)/(3 + x))^(-3 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 7}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{x + 3}\right)^{x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u - 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-7}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-7} = e^{-7}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = e^{-7}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 7}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{x + 3}\right)^{x - 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{x + 3}\right)^{x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u - 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 7 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-7}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-7} = e^{-7}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = e^{-7}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = e^{-7}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = - \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = - \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = \frac{16}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = \frac{16}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = e^{-7}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = - \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = - \frac{27}{64}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = \frac{16}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = \frac{16}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 4}{x + 3}\right)^{x - 3} = e^{-7}$$
Más detalles con x→-oo