Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- (cuatro +x)^ cuatro /(dos +x)^ cuatro
- (4 más x) en el grado 4 dividir por (2 más x) en el grado 4
- (cuatro más x) en el grado cuatro dividir por (dos más x) en el grado cuatro
- (4+x)4/(2+x)4
- 4+x4/2+x4
- (4+x)⁴/(2+x)⁴
- 4+x^4/2+x^4
- (4+x)^4 dividir por (2+x)^4
-
Expresiones semejantes
- (4+x)^4/(2-x)^4
- (4-x)^4/(2+x)^4
Límite de la función (4+x)^4/(2+x)^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4\
|(4 + x) |
lim |--------|
x->oo| 4|
\(2 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
Limit((4 + x)^4/(2 + x)^4, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{16}{x} + \frac{96}{x^{2}} + \frac{256}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{24}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{16}{x} + \frac{96}{x^{2}} + \frac{256}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{24}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1}{16 u^{4} + 32 u^{3} + 24 u^{2} + 8 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 16 + 96 \cdot 0^{2} + 256 \cdot 0^{3} + 256 \cdot 0^{4} + 1}{0 \cdot 8 + 16 \cdot 0^{4} + 24 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{16}{x} + \frac{96}{x^{2}} + \frac{256}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{24}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{16}{x} + \frac{96}{x^{2}} + \frac{256}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{24}{x^{2}} + \frac{32}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1}{16 u^{4} + 32 u^{3} + 24 u^{2} + 8 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 16 + 96 \cdot 0^{2} + 256 \cdot 0^{3} + 256 \cdot 0^{4} + 1}{0 \cdot 8 + 16 \cdot 0^{4} + 24 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 48 x^{2} + 192 x + 256}{4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 48 x^{2} + 192 x + 256}{4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 48 x^{2} + 192 x + 256}{4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 48 x^{2} + 192 x + 256}{4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 16$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 16$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 16$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 16$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{4}}{\left(x + 2\right)^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo