Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)