Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (- nueve +x^ dos)/(- seis +x^ dos -x)
- ( menos 9 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 6 más x al cuadrado menos x)
- ( menos nueve más x en el grado dos) dividir por ( menos seis más x en el grado dos menos x)
- (-9+x2)/(-6+x2-x)
- -9+x2/-6+x2-x
- (-9+x²)/(-6+x²-x)
- (-9+x en el grado 2)/(-6+x en el grado 2-x)
- -9+x^2/-6+x^2-x
- (-9+x^2) dividir por (-6+x^2-x)
-
Expresiones semejantes
- (-9+x^2)/(-6+x^2+x)
- (-9-x^2)/(-6+x^2-x)
- (-9+x^2)/(-6-x^2-x)
- (9+x^2)/(-6+x^2-x)
- (-9+x^2)/(6+x^2-x)
Límite de la función (-9+x^2)/(-6+x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -9 + x |
lim |-----------|
x->oo| 2 |
\-6 + x - x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
Limit((-9 + x^2)/(-6 + x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 9 u^{2}}{- 6 u^{2} - u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 9 \cdot 0^{2}}{- 0 - 6 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 9 u^{2}}{- 6 u^{2} - u + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 9 \cdot 0^{2}}{- 0 - 6 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - x - 6\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - x - 6\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -9 + x |
lim |-----------|
x->3+| 2 |
\-6 + x - x/
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
6/5
$$\frac{6}{5}$$
= 1.2
/ 2 \
| -9 + x |
lim |-----------|
x->3-| 2 |
\-6 + x - x/
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right)$$
6/5
$$\frac{6}{5}$$
= 1.2
= 1.2
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{- x + \left(x^{2} - 6\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico