Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+sqrt(-1+x))/(-5+x)
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de (1-cos(2*x))/x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Expresiones idénticas
- ((siete + cinco *x)/(dos + cinco *x))^(seis *x)
- ((7 más 5 multiplicar por x) dividir por (2 más 5 multiplicar por x)) en el grado (6 multiplicar por x)
- ((siete más cinco multiplicar por x) dividir por (dos más cinco multiplicar por x)) en el grado (seis multiplicar por x)
- ((7+5*x)/(2+5*x))(6*x)
- 7+5*x/2+5*x6*x
- ((7+5x)/(2+5x))^(6x)
- ((7+5x)/(2+5x))(6x)
- 7+5x/2+5x6x
- 7+5x/2+5x^6x
- ((7+5*x) dividir por (2+5*x))^(6*x)
-
Expresiones semejantes
- ((7-5*x)/(2+5*x))^(6*x)
- ((7+5*x)/(2-5*x))^(6*x)
Límite de la función ((7+5*x)/(2+5*x))^(6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
6*x
/7 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\2 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
Limit(((7 + 5*x)/(2 + 5*x))^(6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 2\right) + 5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 2} + \frac{5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 2}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u - \frac{12}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 2\right) + 5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x + 2} + \frac{5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 2}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x + 2}\right)^{6 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u - \frac{12}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = e^{6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = \frac{2985984}{117649}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = \frac{2985984}{117649}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = \frac{2985984}{117649}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = \frac{2985984}{117649}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 7}{5 x + 2}\right)^{6 x} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico