Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = 2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$2 \cdot 1^{2}$$
=
$$2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$