Sr Examen
Límite de la función (-1+e^(2+x))^3/((1-cos(2+x))*asin(2+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| / 2 + x\ |
| \-1 + E / |
lim |----------------------------|
x->-2+\(1 - cos(2 + x))*asin(2 + x)/
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
Limit((-1 + E^(2 + x))^3/(((1 - cos(2 + x))*asin(2 + x))), x, -2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{3 e^{6} e^{3 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{6 e^{4} e^{2 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{2} e^{x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{e^{6} e^{3 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{4} e^{2 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{3 e^{2} e^{x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}}}{\sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{3 e^{6} e^{3 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{6 e^{4} e^{2 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{2} e^{x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{e^{6} e^{3 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{4} e^{2 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{3 e^{2} e^{x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}}}{\sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{3 e^{6} e^{3 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{6 e^{4} e^{2 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{2} e^{x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{e^{6} e^{3 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{4} e^{2 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{3 e^{2} e^{x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}}}{\sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{3 e^{6} e^{3 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{6 e^{4} e^{2 x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{2} e^{x}}{\operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{e^{6} e^{3 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{3 e^{4} e^{2 x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} - \frac{3 e^{2} e^{x}}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}} + \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x - 3} \operatorname{asin}^{2}{\left(x + 2 \right)}}}{\sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 3 \
| / 2 + x\ |
| \-1 + E / |
lim |----------------------------|
x->-2+\(1 - cos(2 + x))*asin(2 + x)/
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
2
$$2$$
= 2
/ 3 \
| / 2 + x\ |
| \-1 + E / |
lim |----------------------------|
x->-2-\(1 - cos(2 + x))*asin(2 + x)/
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
2
$$2$$
= 2
= 2
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-2 a la izquierda
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{4} - 1 + 3 e^{2} + e^{6}}{\cos{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 \right)} - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{4} - 1 + 3 e^{2} + e^{6}}{\cos{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 \right)} - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{6} - 1 + 3 e^{3} + e^{9}}{\cos{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 \right)} - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{6} - 1 + 3 e^{3} + e^{9}}{\cos{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 \right)} - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-2 a la izquierda
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{4} - 1 + 3 e^{2} + e^{6}}{\cos{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 \right)} - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{4} - 1 + 3 e^{2} + e^{6}}{\cos{\left(2 \right)} \operatorname{asin}{\left(2 \right)} - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{6} - 1 + 3 e^{3} + e^{9}}{\cos{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 \right)} - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right) = - \frac{- 3 e^{6} - 1 + 3 e^{3} + e^{9}}{\cos{\left(3 \right)} \operatorname{asin}{\left(3 \right)} - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{x + 2} - 1\right)^{3}}{\left(1 - \cos{\left(x + 2 \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo