Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + siete *x)/(- uno + siete *x))^(dos *x)
- ((3 más 7 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 7 multiplicar por x)) en el grado (2 multiplicar por x)
- ((tres más siete multiplicar por x) dividir por ( menos uno más siete multiplicar por x)) en el grado (dos multiplicar por x)
- ((3+7*x)/(-1+7*x))(2*x)
- 3+7*x/-1+7*x2*x
- ((3+7x)/(-1+7x))^(2x)
- ((3+7x)/(-1+7x))(2x)
- 3+7x/-1+7x2x
- 3+7x/-1+7x^2x
- ((3+7*x) dividir por (-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3-7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
- ((3+7*x)/(1+7*x))^(2*x)
- ((3+7*x)/(-1-7*x))^(2*x)
Límite de la función ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
/3 + 7*x \
lim |--------|
x->oo\-1 + 7*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
Limit(((3 + 7*x)/(-1 + 7*x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(7 x - 1\right) + 4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x - 1}{7 x - 1} + \frac{4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{7 x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7} + \frac{2}{7}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{7}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{7}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{8}{7}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{8}{7}} = e^{\frac{8}{7}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = e^{\frac{8}{7}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(7 x - 1\right) + 4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x - 1}{7 x - 1} + \frac{4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{7 x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{7 x - 1}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7} + \frac{2}{7}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{7}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{7}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{8 u}{7}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{8}{7}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{8}{7}} = e^{\frac{8}{7}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = e^{\frac{8}{7}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = e^{\frac{8}{7}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = \frac{25}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = \frac{25}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = e^{\frac{8}{7}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = \frac{25}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = \frac{25}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{7 x + 3}{7 x - 1}\right)^{2 x} = e^{\frac{8}{7}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico