Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (-3+sqrt(8+x))/(-1+x)
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Límite de 1/(-3+x)
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Límite de ((3+x)/(-1+x))^(-4+x)
-
Límite de (-4+x^3-5*x^2+8*x)/(4+x^3-3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(- uno +x))^(- cuatro +x)
- ((3 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado ( menos 4 más x)
- ((tres más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado ( menos cuatro más x)
- ((3+x)/(-1+x))(-4+x)
- 3+x/-1+x-4+x
- 3+x/-1+x^-4+x
- ((3+x) dividir por (-1+x))^(-4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/(1+x))^(-4+x)
- ((3-x)/(-1+x))^(-4+x)
- ((3+x)/(-1+x))^(4+x)
- ((3+x)/(-1-x))^(-4+x)
- ((3+x)/(-1+x))^(-4-x)
Límite de la función ((3+x)/(-1+x))^(-4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-4 + x
/3 + x \
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
Limit(((3 + x)/(-1 + x))^(-4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{x - 4} = e^{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Gráfico