Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{4} - 9 x + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{4} - 2 x^{3} - 8 x + 16\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x^{3} - 8}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(x^{3} - 8\right) - x + 2}{\left(x - 2\right) \left(x^{3} - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 9 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 2 x^{3} - 8 x + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 x^{3} - 9}{4 x^{3} - 6 x^{2} - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 x^{3} - 9}{4 x^{3} - 6 x^{2} - 8}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)