Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} - 2 x + 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x^{2} - 3 x + 1\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + \left(4 - 2 x\right)}{- 3 x + \left(1 - 5 x^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{- 5 x^{2} - 3 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 2 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 5 x^{2} - 3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x - 2}{- 10 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 10 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{3}{5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)