Sr Examen

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Suma de la serie ((-1)^(n-1))*(5^n+2)*x^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                       
 ___                       
 \  `                      
  \       n - 1 / n    \  n
  /   (-1)     *\5  + 2/*x 
 /__,                      
n = 1                      
$$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \left(-1\right)^{n - 1} \left(5^{n} + 2\right)$$
Sum(((-1)^(n - 1)*(5^n + 2))*x^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$x^{n} \left(-1\right)^{n - 1} \left(5^{n} + 2\right)$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \left(-1\right)^{n - 1} \left(5^{n} + 2\right)$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{5^{n} + 2}{5^{n + 1} + 2}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \frac{1}{5}$$
$$R^{1} = 0.2$$
$$R = 0.2$$
Respuesta [src]
  //       -5*x                     \     //     -x                    \
  ||     -------       for 5*|x| < 1|     ||    -----       for |x| < 1|
  ||     1 + 5*x                    |     ||    1 + x                  |
  ||                                |     ||                           |
  ||  oo                            |     ||  oo                       |
- |< ___                            | - 2*|< ___                       |
  || \  `                           |     || \  `                      |
  ||  \       n  n  n               |     ||  \       n  n             |
  ||  /   (-1) *5 *x     otherwise  |     ||  /   (-1) *x    otherwise |
  || /__,                           |     || /__,                      |
  \\n = 1                           /     \\n = 1                      /
$$- 2 \left(\begin{cases} - \frac{x}{x + 1} & \text{for}\: \left|{x}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^{n} x^{n} & \text{otherwise} \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{5 x}{5 x + 1} & \text{for}\: 5 \left|{x}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \left(-1\right)^{n} 5^{n} x^{n} & \text{otherwise} \end{cases}$$
-Piecewise((-5*x/(1 + 5*x), 5*|x| < 1), (Sum((-1)^n*5^n*x^n, (n, 1, oo)), True)) - 2*Piecewise((-x/(1 + x), |x| < 1), (Sum((-1)^n*x^n, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie