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Suma de la serie/ n!^2/(n-k)!^2/k!

Suma de la serie n!^2/(n-k)!^2/k!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo              
_____             
\    `            
 \     /     2   \
  \    |   n!    |
   \   |---------|
    )  |        2|
   /   \(n - k)! /
  /    -----------
 /          k!    
/____,            
k = 0
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\frac{1}{\left(- k + n\right)!^{2}} n!^{2}}{k!}$$ 
Sum((factorial(n)^2/factorial(n - k)^2)/factorial(k), (k, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\frac{1}{\left(- k + n\right)!^{2}} n!^{2}}{k!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{k} \left(c x - x_{0}\right)^{d k}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{a_{k}}{a_{k + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{k} = \frac{n!^{2}}{k! \left(- k + n\right)!^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{\left(k + 1\right)! \left(- (k - n + 1)\right)!^{2}}{k! \left(- (k - n)\right)!^{2}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{\left(k + 1\right)! \left(- (k - n + 1)\right)!^{2}}{k! \left(- (k - n)\right)!^{2}}}\right|$$
Respuesta [src] 
  oo              
____              
\   `             
 \          2     
  \       n!      
   )  ------------
  /              2
 /    k!*(n - k)! 
/___,             
k = 0
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{n!^{2}}{k! \left(- k + n\right)!^{2}}$$ 
Sum(factorial(n)^2/(factorial(k)*factorial(n - k)^2), (k, 0, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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