Se da una serie:
$$\frac{\left(- k + r\right)! \left(- k + s\right)!}{k! \left(- k + x\right)!^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{k} \left(c x - x_{0}\right)^{d k}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{a_{k}}{a_{k + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{k} = \frac{\left(- k + r\right)! \left(- k + s\right)!}{k! \left(- k + x\right)!^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{\left(k + 1\right)! \left(- (k - r)\right)! \left(- (k - s)\right)! \left(- (k - x + 1)\right)!^{2}}{k! \left(- (k - x)\right)!^{2} \left(- (k - r + 1)\right)! \left(- (k - s + 1)\right)!}}\right|$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{0} = \lim_{k \to \infty} \left|{\frac{\left(k + 1\right)! \left(- (k - r)\right)! \left(- (k - s)\right)! \left(- (k - x + 1)\right)!^{2}}{k! \left(- (k - x)\right)!^{2} \left(- (k - r + 1)\right)! \left(- (k - s + 1)\right)!}}\right|$$