Sr Examen

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ln(1+1/n)-ln(1+1/n+1)

Suma de la serie ln(1+1/n)-ln(1+1/n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                               
 ___                               
 \  `                              
  \   /   /    1\      /    1    \\
   )  |log|1 + -| - log|1 + - + 1||
  /   \   \    n/      \    n    //
 /__,                              
n = 1                              
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right) + 1 \right)}\right)$$
Sum(log(1 + 1/n) - log(1 + 1/n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right) + 1 \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \log{\left(2 + \frac{1}{n} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \log{\left(2 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)} - \log{\left(2 + \frac{1}{n + 1} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                             
 ___                             
 \  `                            
  \   /     /    1\      /    1\\
   )  |- log|2 + -| + log|1 + -||
  /   \     \    n/      \    n//
 /__,                            
n = 1                            
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \log{\left(2 + \frac{1}{n} \right)}\right)$$
Sum(-log(2 + 1/n) + log(1 + 1/n), (n, 1, oo))
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie ln(1+1/n)-ln(1+1/n+1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie