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Suma de la serie k!/(n!*(n+k)!)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
 ___             
 \  `            
  \        k!    
   )  -----------
  /   n!*(n + k)!
 /__,            
n = 1            
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!}{n! \left(k + n\right)!}$$
Sum(factorial(k)/((factorial(n)*factorial(n + k))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{k!}{n! \left(k + n\right)!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{k!}{n! \left(k + n\right)!}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(n + 1\right)! \left(k + n + 1\right)!}{n! \left(k + n\right)!}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(n + 1\right)! \left(k + n + 1\right)!}{n! \left(k + n\right)!}}\right|$$
Respuesta [src]
(-1 - k + (1 + k)*besseli(k, 2)*Gamma(1 + k))*k!
------------------------------------------------
                  Gamma(2 + k)                  
$$\frac{\left(- k + \left(k + 1\right) I_{k}\left(2\right) \Gamma\left(k + 1\right) - 1\right) k!}{\Gamma\left(k + 2\right)}$$
(-1 - k + (1 + k)*besseli(k, 2)*gamma(1 + k))*factorial(k)/gamma(2 + k)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie