Sr Examen
Suma de la serie d/(1+r)^s
Solución
Ha introducido
[src]
oo ____ \ ` \ d \ -------- / s / (1 + r) /___, s = 0
$$\sum_{s=0}^{\infty} \frac{d}{\left(r + 1\right)^{s}}$$
Sum(d/(1 + r)^s, (s, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{d}{\left(r + 1\right)^{s}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{s} \left(c x - x_{0}\right)^{d s}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{s \to \infty} \left|{\frac{a_{s}}{a_{s + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{s} = d$$
y
$$x_{0} = - r - 1$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- r - 1 + \lim_{s \to \infty} 1\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} r$$
$$R = 0$$
$$\frac{d}{\left(r + 1\right)^{s}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{s} \left(c x - x_{0}\right)^{d s}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{s \to \infty} \left|{\frac{a_{s}}{a_{s + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{s} = d$$
y
$$x_{0} = - r - 1$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- r - 1 + \lim_{s \to \infty} 1\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = \tilde{\infty} r$$
$$R = 0$$
Respuesta
[src]
// 1 1 \ || --------- for ------- < 1| || 1 |1 + r| | || 1 - ----- | || 1 + r | || | d*|< oo | || ___ | || \ ` | || \ -s | || / (1 + r) otherwise | || /__, | \\s = 0 /
$$d \left(\begin{cases} \frac{1}{1 - \frac{1}{r + 1}} & \text{for}\: \frac{1}{\left|{r + 1}\right|} < 1 \\\sum_{s=0}^{\infty} \left(r + 1\right)^{- s} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$
d*Piecewise((1/(1 - 1/(1 + r)), 1/|1 + r| < 1), (Sum((1 + r)^(-s), (s, 0, oo)), True))
Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie
- Suma de la serie de potencias
x^n/n
(x-1)^n
- Factorial
1/2^(n!)
n^2/n!
x^n/n!
k!/(n!*(n+k)!)
- Serie de Flint Hills
csc(n)^2/n^3
- Serie de cuadrados inversos
1/n^2
1/n^4
1/n^6
- Serie armónica
1/n
- Serie de Grandi
(-1)^n
- Serie alternada
(-1)^(n + 1)/n
(n + 2)*(-1)^(n - 1)
(3*n - 1)/(-5)^n
(-1)^(n - 1)*n/(6*n - 5)
- Serie de Newton-Mercator
(-1)^(n + 1)/n*x^n
- Investigar la convergencia de la serie
(3*n - 1)/(-5)^n