Se da una serie:
$$\frac{\left(2 x\right)^{n}}{n^{2} + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 2$$
entonces
$$R = \frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} + 1}{n^{2} + 1}\right)}{2}$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = \frac{1}{2}$$
$$R = 0.5$$