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Suma de la serie/ (x+3)^n/2^nsqrt(n^4+4)

Suma de la serie (x+3)^n/2^nsqrt(n^4+4)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
____                      
\   `                     
 \           n    ________
  \   (x + 3)    /  4     
   )  --------*\/  n  + 4 
  /       n               
 /       2                
/___,                     
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x + 3\right)^{n}}{2^{n}} \sqrt{n^{4} + 4}$$ 
Sum(((x + 3)^n/2^n)*sqrt(n^4 + 4), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{n}}{2^{n}} \sqrt{n^{4} + 4}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 2^{- n} \sqrt{n^{4} + 4}$$
y
$$x_{0} = -3$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = -3 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{- n} 2^{n + 1} \sqrt{n^{4} + 4}}{\sqrt{\left(n + 1\right)^{4} + 4}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = -1$$
$$R = -1$$
Respuesta [src] 
  oo                          
 ___                          
 \  `                         
  \                   ________
   )   -n        n   /      4 
  /   2  *(3 + x) *\/  4 + n  
 /__,                         
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} 2^{- n} \sqrt{n^{4} + 4} \left(x + 3\right)^{n}$$ 
Sum(2^(-n)*(3 + x)^n*sqrt(4 + n^4), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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