Sr Examen

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tan(pi/(5*n))

Suma de la serie tan(pi/(5*n))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
 ___          
 \  `         
  \      / pi\
   )  tan|---|
  /      \5*n/
 /__,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \tan{\left(\frac{\pi}{5 n} \right)}$$
Sum(tan(pi/((5*n))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\tan{\left(\frac{\pi}{5 n} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \tan{\left(\frac{\pi}{5 n} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\tan{\left(\frac{\pi}{5 n} \right)}}{\tan{\left(\frac{\pi}{5 \left(n + 1\right)} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo          
 ___          
 \  `         
  \      / pi\
   )  tan|---|
  /      \5*n/
 /__,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \tan{\left(\frac{\pi}{5 n} \right)}$$
Sum(tan(pi/(5*n)), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie tan(pi/(5*n))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie