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Suma de la serie/ n^x/(x+1)

Suma de la serie n^x/(x+1)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo       
____       
\   `      
 \       x 
  \     n  
  /   -----
 /    x + 1
/___,      
x = 1
∑x=1∞nxx+1\sum_{x=1}^{\infty} \frac{n^{x}}{x + 1} 
Sum(n^x/(x + 1), (x, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
nxx+1\frac{n^{x}}{x + 1}
Es la serie del tipo
ax(cx−x0)dxa_{x} \left(c x - x_{0}\right)^{d x}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡x→∞∣axax+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{x \to \infty} \left|{\frac{a_{x}}{a_{x + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
ax=1x+1a_{x} = \frac{1}{x + 1}
y
x0=−nx_{0} = - n
,
d=1d = 1
,
c=0c = 0
entonces
R=∞~(−n+lim⁡x→∞(x+2x+1))R = \tilde{\infty} \left(- n + \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=∞~(1−n)R^{1} = \tilde{\infty} \left(1 - n\right)
R=∞~(1−n)R = \tilde{\infty} \left(1 - n\right)
Respuesta [src] 
/  /  2   2*log(1 - n)\                         
|n*|- - - ------------|                         
|  |  n         2     |                         
|  \           n      /                         
|----------------------  for And(n >= -1, n < 1)
|          2                                    
|                                               
|       oo                                      
<     ____                                      
|     \   `                                     
|      \       x                                
|       \     n                                 
|       /   -----               otherwise       
|      /    1 + x                               
|     /___,                                     
|     x = 1                                     
\
{n(−2n−2log⁡(1−n)n2)2for n≥−1∧n<1∑x=1∞nxx+1otherwise\begin{cases} \frac{n \left(- \frac{2}{n} - \frac{2 \log{\left(1 - n \right)}}{n^{2}}\right)}{2} & \text{for}\: n \geq -1 \wedge n < 1 \\\sum_{x=1}^{\infty} \frac{n^{x}}{x + 1} & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((n*(-2/n - 2*log(1 - n)/n^2)/2, (n >= -1)∧(n < 1)), (Sum(n^x/(1 + x), (x, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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