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Suma de la serie/ sen(xy)/x^2

Suma de la serie sen(xy)/x^2


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo          
____          
\   `         
 \    sin(x*y)
  \   --------
  /       2   
 /       x    
/___,         
x = 1
∑x=1∞sin⁡(xy)x2\sum_{x=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(x y \right)}}{x^{2}} 
Sum(sin(x*y)/x^2, (x, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin⁡(xy)x2\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x^{2}}
Es la serie del tipo
ax(cx−x0)dxa_{x} \left(c x - x_{0}\right)^{d x}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡x→∞∣axax+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{x \to \infty} \left|{\frac{a_{x}}{a_{x + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
ax=sin⁡(xy)x2a_{x} = \frac{\sin{\left(x y \right)}}{x^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡x→∞((x+1)2∣sin⁡(xy)sin⁡(y(x+1))∣x2)1 = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left|{\frac{\sin{\left(x y \right)}}{\sin{\left(y \left(x + 1\right) \right)}}}\right|}{x^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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