Suma de la serie 1+2^n+1/3^n

Se da una serie:
$$\left(2^{n} + 1\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 2^{n} + 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{n} + 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \frac{1}{2}$$