Suma de la serie (n(a*x)^n)/(a*n!)

Se da una serie:
$$\frac{n \left(a x\right)^{n}}{a n!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n}{a n!}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = a$$
entonces
$$R = \frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left|{\frac{\left(n + 1\right)!}{n!}}\right|}{n + 1}\right)}{a}$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \frac{\infty}{a}$$
$$R = \frac{\infty}{a}$$