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Suma de la serie sinh(i/n)/n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo         
____         
\   `        
 \        /I\
  \   sinh|-|
   )      \n/
  /   -------
 /       n   
/___,        
n = 1        
n=1sinh(in)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sinh{\left(\frac{i}{n} \right)}}{n}
Sum(sinh(i/n)/n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sinh(in)n\frac{\sinh{\left(\frac{i}{n} \right)}}{n}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=isin(1n)na_{n} = \frac{i \sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{n}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)sin(1n)sin(1n+1)n)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left|{\frac{\sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{n + 1} \right)}}}\right|}{n}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1
Respuesta [src]
  oo          
____          
\   `         
 \         /1\
  \   I*sin|-|
   )       \n/
  /   --------
 /       n    
/___,         
n = 1         
n=1isin(1n)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i \sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{n}
Sum(i*sin(1/n)/n, (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
1.47282823195618529629494738382*i
1.47282823195618529629494738382*i

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie