Se da una serie:
$$\sqrt{\left(n^{3} + 3 n\right) + 1} \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{n^{3}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sqrt{n^{3} + 3 n + 1} \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{n^{3}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n^{3} + 3 n + 1} \left|{\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2}{n^{3}} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{2}{\left(n + 1\right)^{3}} \right)}}}\right|}{\sqrt{3 n + \left(n + 1\right)^{3} + 4}}\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{0} = 1$$