Suma de la serie log2sin(2n+1)

Se da una serie:
$$\log{\left(2 \sin{\left(2 n + 1 \right)} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \log{\left(2 \sin{\left(2 n + 1 \right)} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\log{\left(2 \sin{\left(2 n + 1 \right)} \right)}}{\log{\left(2 \sin{\left(2 n + 3 \right)} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$