Sr Examen

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Suma de la serie 3(x-1)^n/2^n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \             n
  \   3*(x - 1) 
   )  ----------
  /        n    
 /        2     
/___,           
n = 0           
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3 \left(x - 1\right)^{n}}{2^{n}}$$
Sum((3*(x - 1)^n)/2^n, (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{3 \left(x - 1\right)^{n}}{2^{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 3 \cdot 2^{- n}$$
y
$$x_{0} = 1$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = 1 + \lim_{n \to \infty}\left(2^{- n} 2^{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 3$$
$$R = 3$$
Respuesta [src]
  //         1               |  1   x|    \
  ||       -----         for |- - + -| < 1|
  ||       3   x             |  2   2|    |
  ||       - - -                          |
  ||       2   2                          |
  ||                                      |
3*|<  oo                                  |
  || ___                                  |
  || \  `                                 |
  ||  \    -n         n                   |
  ||  /   2  *(-1 + x)       otherwise    |
  || /__,                                 |
  \\n = 0                                 /
$$3 \left(\begin{cases} \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{x}{2}} & \text{for}\: \left|{\frac{x}{2} - \frac{1}{2}}\right| < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} 2^{- n} \left(x - 1\right)^{n} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$
3*Piecewise((1/(3/2 - x/2), |-1/2 + x/2| < 1), (Sum(2^(-n)*(-1 + x)^n, (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie