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Suma de la serie/ n^2/n!x^2(2n)!

Suma de la serie n^2/n!x^2(2n)!


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo              
____              
\   `             
 \     2          
  \   n   2       
  /   --*x *(2*n)!
 /    n!          
/___,             
n = 1
∑n=1∞x2n2n!(2n)!\sum_{n=1}^{\infty} x^{2} \frac{n^{2}}{n!} \left(2 n\right)! 
Sum(((n^2/factorial(n))*x^2)*factorial(2*n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
x2n2n!(2n)!x^{2} \frac{n^{2}}{n!} \left(2 n\right)!
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=n2x2(2n)!n!a_{n} = \frac{n^{2} x^{2} \left(2 n\right)!}{n!}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=lim⁡n→∞(n2∣(2n)!(n+1)!n!(2n+2)!∣(n+1)2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left|{\frac{\left(2 n\right)! \left(n + 1\right)!}{n! \left(2 n + 2\right)!}}\right|}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=0R^{0} = 0
Respuesta [src] 
  oo              
____              
\   `             
 \     2  2       
  \   n *x *(2*n)!
  /   ------------
 /         n!     
/___,             
n = 1
∑n=1∞n2x2(2n)!n!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} x^{2} \left(2 n\right)!}{n!} 
Sum(n^2*x^2*factorial(2*n)/factorial(n), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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