Derivada de y=(1/sqrt(4+x^2))*tg4x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 4}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \cos{\left(4 x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{x \tan{\left(4 x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 4}} + \frac{\sqrt{x^{2} + 4} \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}}{x^{2} + 4}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 x^{2} - x \cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan{\left(4 x \right)} + 16}{\left(x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{2} - x \cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan{\left(4 x \right)} + 16}{\left(x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(4 x \right)}}$