Derivada de y=xe^(1-cosx)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 1 - \cos{\left(x \right)}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)$:

      1. diferenciamos $1 - \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $\sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $\sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $e^{1 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $e^{1 - \cos{\left(x \right)}} + x e^{1 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(x \sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\left(x \sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$