Sr Examen

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x*sqrt^3((1+x^2)/(1-x^2))

Derivada de x*sqrt^3((1+x^2)/(1-x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                3
        ________ 
       /      2  
      /  1 + x   
x*   /   ------  
    /         2  
  \/     1 - x   
x(x2+11x2)3x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}}\right)^{3}
x*(sqrt((1 + x^2)/(1 - x^2)))^3
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=(x2+11x2)3g{\left(x \right)} = \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}}\right)^{3}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x2+11x2u = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}}.

    2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2+11x2\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}}:

      1. Sustituimos u=x2+11x2u = \frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2+11x2\frac{d}{d x} \frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}:

        1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=x2+1f{\left(x \right)} = x^{2} + 1 y g(x)=1x2g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            Como resultado de: 2x2 x

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. diferenciamos 1x21 - x^{2} miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

              Entonces, como resultado: 2x- 2 x

            Como resultado de: 2x- 2 x

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          2x(1x2)+2x(x2+1)(1x2)2\frac{2 x \left(1 - x^{2}\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2x(1x2)+2x(x2+1)2(1x2)2x2+111x2\frac{2 x \left(1 - x^{2}\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)}{2 \left(1 - x^{2}\right)^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      3x2+1(2x(1x2)+2x(x2+1))2(1x2)311x2\frac{3 \sqrt{x^{2} + 1} \left(2 x \left(1 - x^{2}\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)\right)}{2 \left(1 - x^{2}\right)^{3} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}}}

    Como resultado de: 3xx2+1(2x(1x2)+2x(x2+1))2(1x2)311x2+(x2+11x2)3\frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \left(2 x \left(1 - x^{2}\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)\right)}{2 \left(1 - x^{2}\right)^{3} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}}} + \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}}\right)^{3}

  2. Simplificamos:

    (6x2+(x21)(x2+1))x2+11x21(x21)3\frac{\left(- 6 x^{2} + \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(x^{2} - 1\right)^{3}}


Respuesta:

(6x2+(x21)(x2+1))x2+11x21(x21)3\frac{\left(- 6 x^{2} + \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}} \left(x^{2} - 1\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5001000
Primera derivada [src]
              3                                                             
      ________                                                              
     /      2                 3/2    ________          /           /     2\\
    /  1 + x          /  1   \      /      2  /     2\ |  x      x*\1 + x /|
   /   ------   + 3*x*|------|   *\/  1 + x  *\1 - x /*|------ + ----------|
  /         2         |     2|                         |     2           2 |
\/     1 - x          \1 - x /                         |1 - x    /     2\  |
                                                       \         \1 - x /  /
3x(1x2)x2+1(x1x2+x(x2+1)(1x2)2)(11x2)32+(x2+11x2)33 x \left(1 - x^{2}\right) \sqrt{x^{2} + 1} \left(\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) \left(\frac{1}{1 - x^{2}}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{1 - x^{2}}}\right)^{3}
Segunda derivada [src]
                 /                                                                                                                              2                                 \
                 |                                                                                            /          2\        /          2\            ________ /          2\|
                 |                                                                                          2 |     1 + x |      2 |     1 + x |       2   /      2  |     1 + x ||
                 |                                                                                       2*x *|1 - -------|   3*x *|1 - -------|    2*x *\/  1 + x  *|1 - -------||
             3/2 |     ________ /           2        2       2 /     2\\        ________ /          2\        |          2|        |          2|                     |          2||
    /  -1   \    |    /      2  |      1 + x      4*x     4*x *\1 + x /|       /      2  |     1 + x |        \    -1 + x /        \    -1 + x /                     \    -1 + x /|
3*x*|-------|   *|- \/  1 + x  *|-1 + ------- + ------- - -------------| + 2*\/  1 + x  *|1 - -------| - ------------------ + ------------------- + ------------------------------|
    |      2|    |              |           2         2              2 |                 |          2|         ________              ________                        2            |
    \-1 + x /    |              |     -1 + x    -1 + x      /      2\  |                 \    -1 + x /        /      2              /      2                   -1 + x             |
                 \              \                           \-1 + x /  /                                    \/  1 + x             \/  1 + x                                       /
3x(1x21)32(3x2(1x2+1x21)2x2+12x2(1x2+1x21)x2+1+2x2(1x2+1x21)x2+1x21+2(1x2+1x21)x2+1x2+1(4x2x214x2(x2+1)(x21)21+x2+1x21))3 x \left(- \frac{1}{x^{2} - 1}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{3 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{2 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} + 2 \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)\right)
Tercera derivada [src]
               /   /                                                                                                                                                                                                                                                                      /                                    3/2           ________                3/2\                                                                                                                                           \                                                                                                                                     \
               |   |           2        2       2 /     2\                        ________ /           2        2       2 /     2\\                     2     /          2\ /           2        2       2 /     2\\                                                        /          2\ |   ________         2       /     2\         2   /      2       2 /     2\   |         ________ /           2        2       2 /     2\\                                                                               2 |                                                                                                   2                                 |
               |   |      1 + x      4*x     4*x *\1 + x /     /          2\     /      2  |      1 + x      4*x     4*x *\1 + x /|        /          2\      |     1 + x | |      1 + x      4*x     4*x *\1 + x /|        /          2\        ________ /          2\     |     1 + x | |  /      2         x        \1 + x /      6*x *\/  1 + x     5*x *\1 + x /   |        /      2  |      1 + x      2*x     2*x *\1 + x /|           ________ /          2\          /          2\          /          2\  |                                                                 /          2\        /          2\            ________ /          2\|
               |   |-1 + ------- + ------- - -------------     |     1 + x |   \/  1 + x  *|-1 + ------- + ------- - -------------|      2 |     1 + x |    3*|1 - -------|*|-1 + ------- + ------- - -------------|      2 |     1 + x |       /      2  |     1 + x |   3*|1 - -------|*|\/  1 + x   + ----------- - ----------- - ---------------- + ----------------|   12*\/  1 + x  *|-1 + ------- + ------- - -------------|      2   /      2  |     1 + x |        2 |     1 + x |        2 |     1 + x |  |                                                               2 |     1 + x |      2 |     1 + x |       2   /      2  |     1 + x ||
               |   |           2         2              2    2*|1 - -------|               |           2         2              2 |   6*x *|1 - -------|      |          2| |           2         2              2 |   2*x *|1 - -------|   2*\/  1 + x  *|1 - -------|     |          2| |                 ________           2               2                    2   |                  |           2         2              2 |   6*x *\/  1 + x  *|1 - -------|     4*x *|1 - -------|     6*x *|1 - -------|  |                                                            6*x *|1 - -------|   9*x *|1 - -------|    6*x *\/  1 + x  *|1 - -------||
           3/2 |   |     -1 + x    -1 + x      /      2\       |          2|               |     -1 + x    -1 + x      /      2\  |        |          2|      \    -1 + x / |     -1 + x    -1 + x      /      2\  |        |          2|                 |          2|     \    -1 + x / |                /      2      -1 + x          -1 + x            /      2\    |                  |     -1 + x    -1 + x      /      2\  |                    |          2|          |          2|          |          2|  |        ________ /           2        2       2 /     2\\        |          2|        |          2|                     |          2||
  /  -1   \    | 2 |                           \-1 + x /       \    -1 + x /               \                           \-1 + x /  /        \    -1 + x /                    \                           \-1 + x /  /        \    -1 + x /                 \    -1 + x /                   \              \/  1 + x                                         \-1 + x /    /                  \                           \-1 + x /  /                    \    -1 + x /          \    -1 + x /          \    -1 + x /  |       /      2  |      1 + x      4*x     4*x *\1 + x /|        \    -1 + x /        \    -1 + x /                     \    -1 + x /|
3*|-------|   *|x *|-------------------------------------- - --------------- - ---------------------------------------------------- - ------------------- - -------------------------------------------------------- + ------------------ + --------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------- - ------------------------------ + --------------------- + ---------------------| - 3*\/  1 + x  *|-1 + ------- + ------- - -------------| - ------------------ + ------------------- + ------------------------------|
  |      2|    |   |                ________                      ________                                 2                                      3/2                                ________                                     3/2                       2                                                               2                                                                             2                                              2                ________                ________          |                 |           2         2              2 |         ________              ________                        2            |
  \-1 + x /    |   |               /      2                      /      2                            -1 + x                               /     2\                                  /      2                              /     2\                    -1 + x                                                           1 + x                                                                        -1 + x                                      /      2\                /      2  /      2\     /      2  /      2\|                 |     -1 + x    -1 + x      /      2\  |        /      2              /      2                   -1 + x             |
               \   \             \/  1 + x                     \/  1 + x                                                                  \1 + x /                                \/  1 + x                               \1 + x /                                                                                                                                                                                                              \-1 + x /              \/  1 + x  *\-1 + x /   \/  1 + x  *\-1 + x //                 \                           \-1 + x /  /      \/  1 + x             \/  1 + x                                       /
3(1x21)32(9x2(1x2+1x21)2x2+16x2(1x2+1x21)x2+1+6x2(1x2+1x21)x2+1x21+x2(6x2(1x2+1x21)2(x2+1)32+6x2(1x2+1x21)2(x21)x2+1+2x2(1x2+1x21)(x2+1)32+4x2(1x2+1x21)(x21)x2+16x2(1x2+1x21)x2+1(x21)2+3(1x2+1x21)(x2x2+16x2x2+1x21+5x2(x2+1)32(x21)2+x2+1(x2+1)32x21)x2+13(1x2+1x21)(4x2x214x2(x2+1)(x21)21+x2+1x21)x2+12(1x2+1x21)x2+1+2(1x2+1x21)x2+1x21+4x2x214x2(x2+1)(x21)21+x2+1x21x2+1+12x2+1(2x2x212x2(x2+1)(x21)21+x2+1x21)x21x2+1(4x2x214x2(x2+1)(x21)21+x2+1x21)x21)3x2+1(4x2x214x2(x2+1)(x21)21+x2+1x21))3 \left(- \frac{1}{x^{2} - 1}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{9 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{6 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{6 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} + x^{2} \left(- \frac{6 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{6 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{\left(x^{2} - 1\right) \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{6 x^{2} \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{6 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} + \frac{5 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \sqrt{x^{2} + 1} - \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} + 1} - \frac{3 \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{2 \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{2 \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{12 \sqrt{x^{2} + 1} \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{2 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) - 3 \sqrt{x^{2} + 1} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)\right)
Gráfico
Derivada de x*sqrt^3((1+x^2)/(1-x^2))