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Derivada de la función/ y=5^x/ ln^2x/ 5^x^3/ y=5^x^3ln^2x

Derivada de y=5^x^3ln^2x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 / 3\        
 \x /    2   
5    *log (x)
5x3log⁡(x)25^{x^{3}} \log{\left(x \right)}^{2} 
5^(x^3)*log(x)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=5x3f{\left(x \right)} = 5^{x^{3}}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x3u = x^{3}.

    2. ddu5u=5ulog⁡(5)\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx3\frac{d}{d x} x^{3}:

      1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      3⋅5x3x2log⁡(5)3 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)}

    g(x)=log⁡(x)2g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{2}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxlog⁡(x)\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}:

      1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2log⁡(x)x\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}

    Como resultado de: 3⋅5x3x2log⁡(5)log⁡(x)2+2⋅5x3log⁡(x)x3 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 \cdot 5^{x^{3}} \log{\left(x \right)}}{x}

  2. Simplificamos:

    5x3(3x3log⁡(5)log⁡(x)+2)log⁡(x)x\frac{5^{x^{3}} \left(3 x^{3} \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}

Respuesta:

5x3(3x3log⁡(5)log⁡(x)+2)log⁡(x)x\frac{5^{x^{3}} \left(3 x^{3} \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}

Primera derivada [src] 
   / 3\                                   
   \x /             / 3\                  
2*5    *log(x)      \x /  2    2          
-------------- + 3*5    *x *log (x)*log(5)
      x
3⋅5x3x2log⁡(5)log⁡(x)2+2⋅5x3log⁡(x)x3 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 \cdot 5^{x^{3}} \log{\left(x \right)}}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
 / 3\                                                                                
 \x / /  2*(-1 + log(x))                               2    /       3       \       \
5    *|- --------------- + 12*x*log(5)*log(x) + 3*x*log (x)*\2 + 3*x *log(5)/*log(5)|
      |          2                                                                  |
      \         x                                                                   /
5x3(3x(3x3log⁡(5)+2)log⁡(5)log⁡(x)2+12xlog⁡(5)log⁡(x)−2(log⁡(x)−1)x2)5^{x^{3}} \left(3 x \left(3 x^{3} \log{\left(5 \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + 12 x \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
 / 3\                                                                                                                                         
 \x / /                           2*(-3 + 2*log(x))        2    /       6    2          3       \             /       3       \              \
5    *|-18*(-1 + log(x))*log(5) + ----------------- + 3*log (x)*\2 + 9*x *log (5) + 18*x *log(5)/*log(5) + 18*\2 + 3*x *log(5)/*log(5)*log(x)|
      |                                    3                                                                                                 |
      \                                   x                                                                                                  /
5x3(18(3x3log⁡(5)+2)log⁡(5)log⁡(x)−18(log⁡(x)−1)log⁡(5)+3(9x6log⁡(5)2+18x3log⁡(5)+2)log⁡(5)log⁡(x)2+2(2log⁡(x)−3)x3)5^{x^{3}} \left(18 \left(3 x^{3} \log{\left(5 \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)} - 18 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(5 \right)} + 3 \left(9 x^{6} \log{\left(5 \right)}^{2} + 18 x^{3} \log{\left(5 \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x^{3}}\right)
Simplificar
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