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Derivada de la función/ sqrt(a^2+x^2)/sqrt(a^2-x^2)

Derivada de sqrt(a^2+x^2)/sqrt(a^2-x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   _________
  /  2    2 
\/  a  + x  
------------
   _________
  /  2    2 
\/  a  - x
a2+x2a2−x2\frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} 
sqrt(a^2 + x^2)/sqrt(a^2 - x^2)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=a2+x2f{\left(x \right)} = \sqrt{a^{2} + x^{2}} y g(x)=a2−x2g{\left(x \right)} = \sqrt{a^{2} - x^{2}}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

      1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Como resultado de: 2x2 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=a2−x2u = a^{2} - x^{2}.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2−x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} - x^{2}\right):

      1. diferenciamos a2−x2a^{2} - x^{2} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: −2x- 2 x

        Como resultado de: −2x- 2 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −xa2−x2- \frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    xa2−x2a2+x2+xa2+x2a2−x2a2−x2\frac{\frac{x \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{x \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}}{a^{2} - x^{2}}

  2. Simplificamos:

    2a2x(a2−x2)32a2+x2\frac{2 a^{2} x}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

Respuesta:

2a2x(a2−x2)32a2+x2\frac{2 a^{2} x}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

Primera derivada [src] 
     _________                            
    /  2    2                             
x*\/  a  + x                 x            
-------------- + -------------------------
          3/2       _________    _________
 / 2    2\         /  2    2    /  2    2 
 \a  - x /       \/  a  + x  *\/  a  - x
xa2−x2a2+x2+xa2+x2(a2−x2)32\frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{x \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
           2        _________ /         2 \                         
          x        /  2    2  |      3*x  |                         
  -1 + -------   \/  a  + x  *|1 + -------|                         
        2    2                |     2    2|               2         
       a  + x                 \    a  - x /            2*x          
- ------------ + -------------------------- + ----------------------
     _________             2    2                _________          
    /  2    2             a  - x                /  2    2  / 2    2\
  \/  a  + x                                  \/  a  + x  *\a  - x /
--------------------------------------------------------------------
                               _________                            
                              /  2    2                             
                            \/  a  - x
2x2(a2−x2)a2+x2−x2a2+x2−1a2+x2+a2+x2(3x2a2−x2+1)a2−x2a2−x2\frac{\frac{2 x^{2}}{\left(a^{2} - x^{2}\right) \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(\frac{3 x^{2}}{a^{2} - x^{2}} + 1\right)}{a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
    /         2        _________ /         2 \                 2                        2       \
    |        x        /  2    2  |      5*x  |              3*x                        x        |
    |-1 + -------   \/  a  + x  *|3 + -------|        1 + -------              -1 + -------     |
    |      2    2                |     2    2|             2    2                    2    2     |
    |     a  + x                 \    a  - x /            a  - x                    a  + x      |
3*x*|------------ + -------------------------- + ---------------------- - ----------------------|
    |         3/2                    2              _________                _________          |
    |/ 2    2\              / 2    2\              /  2    2  / 2    2\     /  2    2  / 2    2\|
    \\a  + x /              \a  - x /            \/  a  + x  *\a  - x /   \/  a  + x  *\a  - x //
-------------------------------------------------------------------------------------------------
                                              _________                                          
                                             /  2    2                                           
                                           \/  a  - x
3x(x2a2+x2−1(a2+x2)32+3x2a2−x2+1(a2−x2)a2+x2−x2a2+x2−1(a2−x2)a2+x2+a2+x2(5x2a2−x2+3)(a2−x2)2)a2−x2\frac{3 x \left(\frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{3 x^{2}}{a^{2} - x^{2}} + 1}{\left(a^{2} - x^{2}\right) \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\left(a^{2} - x^{2}\right) \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(\frac{5 x^{2}}{a^{2} - x^{2}} + 3\right)}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}}\right)}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}
Simplificar
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