Derivada de y=(3x+1)*ln((1+4x^2+2x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 3 x + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $3 x + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $3$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + \left(4 x^{2} + 1\right) \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x + \left(4 x^{2} + 1\right)$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + \left(4 x^{2} + 1\right)\right)$:

      1. diferenciamos $2 x + \left(4 x^{2} + 1\right)$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $4 x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $8 x$

            Como resultado de: $8 x$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de: $8 x + 2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{8 x + 2}{2 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}$

   Como resultado de: $3 \log{\left(2 x + \left(4 x^{2} + 1\right) \right)} + \frac{\left(3 x + 1\right) \left(8 x + 2\right)}{2 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(3 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) + 3 \left(4 x^{2} + 2 x + 1\right) \log{\left(4 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{4 x^{2} + 2 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 x + 1\right) \left(4 x + 1\right) + 3 \left(4 x^{2} + 2 x + 1\right) \log{\left(4 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{4 x^{2} + 2 x + 1}$