Derivada de sin(2*x)/cos(5*x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{5 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{7 \cos{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(7 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{7 \cos{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(7 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$