Derivada de y^2/((3*sqrt(1+y^2)))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d y} \frac{f{\left(y \right)}}{g{\left(y \right)}} = \frac{- f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}}{g^{2}{\left(y \right)}}$

   $f{\left(y \right)} = y^{2}$ y $g{\left(y \right)} = 3 \sqrt{y^{2} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $y^{2}$ tenemos $2 y$

   Para calcular $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = y^{2} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \left(y^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $y^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $y^{2}$ tenemos $2 y$

            Como resultado de: $2 y$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{3 y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{3 y^{3}}{\sqrt{y^{2} + 1}} + 6 y \sqrt{y^{2} + 1}}{9 y^{2} + 9}$

2. Simplificamos:

   $\frac{y \left(y^{2} + 2\right)}{3 \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{y \left(y^{2} + 2\right)}{3 \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$