Derivada de sin(3*x)/(3*x+5)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3 x + 5$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cos{\left(3 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $3 x + 5$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de: $3$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{3 \left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)}}{\left(3 x + 5\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \left(\left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)}\right)}{\left(3 x + 5\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(\left(3 x + 5\right) \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)}\right)}{\left(3 x + 5\right)^{2}}$