Sr Examen

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Derivada de (x*sin(a*x))/(x^b*sqrt(x)+1)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 x*sin(a*x) 
------------
 b   ___    
x *\/ x  + 1
$$\frac{x \sin{\left(a x \right)}}{\sqrt{x} x^{b} + 1}$$
(x*sin(a*x))/(x^b*sqrt(x) + 1)
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    y .

    Para calcular :

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ; calculamos :

      1. Según el principio, aplicamos: tenemos

      ; calculamos :

      1. Sustituimos .

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Entonces, como resultado:

        Como resultado de la secuencia de reglas:

      Como resultado de:

    Para calcular :

    1. diferenciamos miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante es igual a cero.

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ; calculamos :

        1. Según el principio, aplicamos: tenemos

        ; calculamos :

        1. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Como resultado de:

      Como resultado de:

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

  2. Simplificamos:


Respuesta:

Primera derivada [src]
                            /      b         b\         
                            |     x       b*x |         
                          x*|- ------- - -----|*sin(a*x)
                            |      ___     ___|         
a*x*cos(a*x) + sin(a*x)     \  2*\/ x    \/ x /         
----------------------- + ------------------------------
       b   ___                                 2        
      x *\/ x  + 1               / b   ___    \         
                                 \x *\/ x  + 1/         
$$\frac{x \left(- \frac{b x^{b}}{\sqrt{x}} - \frac{x^{b}}{2 \sqrt{x}}\right) \sin{\left(a x \right)}}{\left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)^{2}} + \frac{a x \cos{\left(a x \right)} + \sin{\left(a x \right)}}{\sqrt{x} x^{b} + 1}$$
Segunda derivada [src]
                                                                                /          2      b          2 \         
                                                                              b |  -1 + 4*b    2*x *(1 + 2*b)  |         
                                                                           x*x *|- --------- + ----------------|*sin(a*x)
                                   b                                            |      3/2       /      ___  b\|         
                                  x *(1 + 2*b)*(a*x*cos(a*x) + sin(a*x))        \     x        x*\1 + \/ x *x //         
-a*(-2*cos(a*x) + a*x*sin(a*x)) - -------------------------------------- + ----------------------------------------------
                                             ___ /      ___  b\                             /      ___  b\               
                                           \/ x *\1 + \/ x *x /                           4*\1 + \/ x *x /               
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                             ___  b                                                      
                                                       1 + \/ x *x                                                       
$$\frac{- a \left(a x \sin{\left(a x \right)} - 2 \cos{\left(a x \right)}\right) + \frac{x x^{b} \left(\frac{2 x^{b} \left(2 b + 1\right)^{2}}{x \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)} - \frac{4 b^{2} - 1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sin{\left(a x \right)}}{4 \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)} - \frac{x^{b} \left(2 b + 1\right) \left(a x \cos{\left(a x \right)} + \sin{\left(a x \right)}\right)}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)}}{\sqrt{x} x^{b} + 1}$$
Tercera derivada [src]
                                                                                                          /        2            3       2*b          3        b           /        2\\                                                         
                                        /          2      b          2 \                                b |3 - 12*b  - 2*b + 8*b     6*x   *(1 + 2*b)      6*x *(1 + 2*b)*\-1 + 4*b /|                                                         
                                      b |  -1 + 4*b    2*x *(1 + 2*b)  |                             x*x *|---------------------- + -------------------- - --------------------------|*sin(a*x)                                                
                                   3*x *|- --------- + ----------------|*(a*x*cos(a*x) + sin(a*x))        |          5/2                               2        2 /      ___  b\     |                                                         
                                        |      3/2       /      ___  b\|                                  |         x                3/2 /      ___  b\        x *\1 + \/ x *x /     |                 b                                       
   2                                    \     x        x*\1 + \/ x *x //                                  \                         x   *\1 + \/ x *x /                              /            3*a*x *(1 + 2*b)*(-2*cos(a*x) + a*x*sin(a*x))
- a *(3*sin(a*x) + a*x*cos(a*x)) + --------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------ + ---------------------------------------------
                                                             /      ___  b\                                                                 /      ___  b\                                                        ___ /      ___  b\           
                                                           4*\1 + \/ x *x /                                                               8*\1 + \/ x *x /                                                    2*\/ x *\1 + \/ x *x /           
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                        ___  b                                                                                                                 
                                                                                                                  1 + \/ x *x                                                                                                                  
$$\frac{- a^{2} \left(a x \cos{\left(a x \right)} + 3 \sin{\left(a x \right)}\right) + \frac{3 a x^{b} \left(2 b + 1\right) \left(a x \sin{\left(a x \right)} - 2 \cos{\left(a x \right)}\right)}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)} - \frac{x x^{b} \left(- \frac{6 x^{b} \left(2 b + 1\right) \left(4 b^{2} - 1\right)}{x^{2} \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)} + \frac{6 x^{2 b} \left(2 b + 1\right)^{3}}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)^{2}} + \frac{8 b^{3} - 12 b^{2} - 2 b + 3}{x^{\frac{5}{2}}}\right) \sin{\left(a x \right)}}{8 \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)} + \frac{3 x^{b} \left(a x \cos{\left(a x \right)} + \sin{\left(a x \right)}\right) \left(\frac{2 x^{b} \left(2 b + 1\right)^{2}}{x \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)} - \frac{4 b^{2} - 1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4 \left(\sqrt{x} x^{b} + 1\right)}}{\sqrt{x} x^{b} + 1}$$