Derivada de y=xln^2(1-x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(1 - x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(1 - x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 1 - x$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

         1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{1}{1 - x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{2 \log{\left(1 - x \right)}}{1 - x}$

   Como resultado de: $- \frac{2 x \log{\left(1 - x \right)}}{1 - x} + \log{\left(1 - x \right)}^{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(2 x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x - 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x - 1}$