Derivada de y=(tgx)/√x

Solución

Ha introducido [src]

tan(x)
------
  ___ 
\/ x

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}$$

tan(x)/sqrt(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{\sqrt{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}}{x}$
Simplificamos:

$\frac{x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{x^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{x^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       2            
1 + tan (x)   tan(x)
----------- - ------
     ___         3/2
   \/ x       2*x

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

         2                                       
  1 + tan (x)     /       2   \          3*tan(x)
- ----------- + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) + --------
       x                                      2  
                                           4*x   
-------------------------------------------------
                        ___                      
                      \/ x

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x} + \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{4 x^{2}}}{\sqrt{x}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                /       2   \     /       2   \       
  /       2   \ /         2   \   15*tan(x)   9*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/*tan(x)
2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ - --------- + --------------- - ----------------------
                                        3              2                  x           
                                     8*x            4*x                               
--------------------------------------------------------------------------------------
                                          ___                                         
                                        \/ x

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{x} + \frac{9 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{4 x^{2}} - \frac{15 \tan{\left(x \right)}}{8 x^{3}}}{\sqrt{x}}$$

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Gráfico

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