Derivada de (x*x*sin2x)/sqrt(x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1} \left(2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)}\right)}{x + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \left(- x \sin{\left(2 x \right)} + \left(4 x + 4\right) \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- x \sin{\left(2 x \right)} + \left(4 x + 4\right) \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$