Derivada de z=cos(e^t*cos(t)-3)

1. Sustituimos $u = e^{t} \cos{\left(t \right)} - 3$.

2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \left(e^{t} \cos{\left(t \right)} - 3\right)$:

   1. diferenciamos $e^{t} \cos{\left(t \right)} - 3$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

         $f{\left(t \right)} = e^{t}$; calculamos $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

         1. Derivado $e^{t}$ es.

         $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$; calculamos $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

         Como resultado de: $- e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}$

      2. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

      Como resultado de: $- e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \left(- e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}\right) \sin{\left(e^{t} \cos{\left(t \right)} - 3 \right)}$

4. Simplificamos:

   $- \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(e^{t} \cos{\left(t \right)} - 3 \right)} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$- \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(e^{t} \cos{\left(t \right)} - 3 \right)} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}$