Sr Examen

Derivada de tan(x)^(2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   2   
tan (x)
tan2(x)\tan^{2}{\left(x \right)}
tan(x)^2
Solución detallada
  1. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    2(sin2(x)+cos2(x))tan(x)cos2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    2tan(x)cos2(x)\frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}


Respuesta:

2tan(x)cos2(x)\frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Primera derivada [src]
/         2   \       
\2 + 2*tan (x)/*tan(x)
(2tan2(x)+2)tan(x)\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}
Segunda derivada [src]
  /       2   \ /         2   \
2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/
2(tan2(x)+1)(3tan2(x)+1)2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)
Tercera derivada [src]
  /       2   \ /         2   \       
8*\1 + tan (x)/*\2 + 3*tan (x)/*tan(x)
8(tan2(x)+1)(3tan2(x)+2)tan(x)8 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}
Gráfico
Derivada de tan(x)^(2)