Derivada de ln(1+e^-x)

1. Sustituimos $u = 1 + e^{- x}$.

2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 + e^{- x}\right)$:

   1. diferenciamos $1 + e^{- x}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Sustituimos $u = - x$.

      3. Derivado $e^{u}$ es.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- e^{- x}$

      Como resultado de: $- e^{- x}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

4. Simplificamos:

   $- \frac{1}{e^{x} + 1}$

Respuesta:

$- \frac{1}{e^{x} + 1}$